図で表すとこのような形となります。 まずは、一番基本的なパターンを見ていきましょう。 例題1. こちらの言葉は、以下のような使い方が多くなります。, 「臨床という言葉は、狭義には医療や看護だけのことを指して使う」
広義積分\[ \int^{1}_0 \frac{1}{\sqrt{x}} \ \ dx \]を求めなさい。 解説1 「民俗」と「民族」という表現を知っているでしょうか。
日常生活の中で「社会保険」という言葉が使われる場合、会社で加入する健康保険と厚生年金のことを指すケースが多いように思われます。 実際には狭義での社会保険とは、「医療保険」、「年金保険」、「介護保険」の３つのことを指します。
そもそも、この2つはどのように違うのでしょうか。
では、様々な広義積分の例を見てみましょう。 パターン1 積分範囲の端が定義されない値の場合. 「広い視野で見る(場合)」という解釈で使い、「広義な意味ではこのグループに属すると考えていいだろう」などと用いられる表現です。
トランスジェンダーという言葉と同じくらい、性同一性障害（gid）という言葉も近年頻繁に使われるようになりました。この2つ、「英語表記と日本語表記の違いでしょ？」と勘違いされることが多いのですが、じつはそもそも、表すものがちがうことを知っていますか？ 逆に広義に解釈すると、心理学や法医学、リハビリなども含まれます。
「社会保険」とは、国民が生活する上での様々なリスクに備えるために、国や地方自治体が運営する公的な保険制度のこと。この制度のおかげで、ケガ・老齢・障害・失業などの困難に直面した際、お金の面で援助を受けられます。 そもそも社会保険は、国民の生活を広く支える「社会保障制度」の一部に当たります。 「社会保険」という言葉は、広い意味では下図にある5つの保険制度の総称です（広義の社会保険）。ただし、年金保険・医療保険・介護保険の3つを指して「社会保険」と呼ぶこともありま … 広義のosは、ユーザーインターフェースまで含んでosと呼びます。 昔はきれいなguiであることを含んで優れたosと呼ばれた時代もありました。 一方、狭義のosは、今も昔もカーネル部分のみでユーザーインターフェースとは無関係です。 まとめ
... 雑誌やメディアなどで「断捨離」「片付け」という言葉が使われることがあります。
高齢化社会が進み、高齢者だけで暮らす世帯が増加しています。そのため高齢者が自立した生活を過ごすことができる環境整備だけでなく、活動能力を客観的に表す指標が必要です。その時に用いられる概念をADLと言います。, ADLは医療や介護の現場で、患者や利用者の自立度を図る指標として用いられています。そして、リハビリに関わる専門職が、それぞれの領域において患者や利用者のADL向上を目指しています。, また、ADLは人が自立した生活を送るために必要な能力を分類し、区分された動作ごとに健常者と比較できるようになっています。そして、ADLを元にしてさまざまな拡大概念が生まれ、より高度な評価法が開発されてきました。, ADLという概念はアメリカが源流とされています。日本では、日本リハビリテーション医学会が1973年より検討を始め、1976年に概念に関する合意をし、発表しました。日本リハビリテーション医学会の1976年の定義によると「ADLは、ひとりの人間が独立して生活するために行う基本的な、しかも各人ともに共通に毎日繰り返されている一連の身体動作群をいう。この動作群は、食事、排泄等の目的をもった各作業（目的動作）に分類され、各作業はさらにその目的を実施するための細目動作に分類される。リハビリテーションの過程や、ゴール決定にあたって、これらの動作は健常者と量的、質的に比較され記録される。」とあります。, Self Careは食事・排泄・入浴・更衣・整容といった自宅や自室内で必要な動作のみを範疇に入れています。, 一方でAPDL（Activities Parallel to Daily Living）では、家事・育児・裁縫・家屋修繕と維持・買物・庭や車の手入れ・交通機関の利用といった、社会的な生活で行われると考えられる動作を指します。, そして近年になり、ADLの分類方法について検討が重ねられBADLとIADLの2つに分けられるようになっています。, 起き上がりや立ち上がり、坐位といった起居動作からトランスファーや歩行といった移乗・移動、そして食事・排泄・整容・更衣・入浴といった生活の基本動作がBADL（Basic ADL）に含まれます。, IADL（Instrumental ADL）は、BADLに比べてより社会性や高度な認知能力が求められる動作を指します。具体的には家事動作や買物、服薬や金銭の管理といった総合的な判断力が求められる動作です。また、趣味活動などの社会性の高い動作もIADLに含まれます。, 次にADLを評価するときに抑えておくべき視点について解説します。実際の場面で患者や利用者の動作に対して「自立度」を判定することがあります。その時、何をもって自立と判断するのかに関して、5つの視点から評価することがポイントです。, 行っている動作が安全に行われていなければ、身体機能を悪化させる可能性があります。転倒する可能性の高い動き方や、極度な負荷をかけている動作は安全とは言えません。例えば、骨折している下肢に過剰な荷重を乗せて歩くことは安全性に問題があります。, 安全に行える動きであっても、常に同じ動作ができなければ自立した動作とは言えません。ADLは日常生活で何度も繰り返されます。したがって、100回試して100回同じことができる程度でなければ、自立しているとは言えないのです。, 安全な動作方法を十分理解していても、遂行できるだけの体力が必要です。例えば、心肺機能に問題のある方にとって、階段昇降を繰り返す動作は耐久性の面で自立困難な場合があるのです。, ある程度のスピードを保つことはADLの自立には重要です。特に屋外歩行や交通機関の利用といった社会性が求められる動作では、スピード不足は自立度を大きく下げることになります。, 上記の４つでクリアできる動作能力があっても、社会的に受け入れられる動作である必要があります。例えば、認知に問題のある方は屋外歩行ができる体力があっても、社会的に自立できません。, リハビリテーションに関わる医療職は、ADLにおいてそれぞれの専門とする領域があります。患者や利用者への治療や訓練では専門職同士で連携を取りながら、それぞれの領域の業務を進めていきます。, PTは起き上がり、立ち上がり、歩行など姿勢変化や移動に関する動作を中心に訓練を実施します。また、PTはADL拡大に必要な身体機能（関節可動域、筋力）を改善するための治療や訓練を実施しています。, OTはADLでもより具体的かつ目的のある動作を中心に訓練を実施します。例えば家事動作やトイレでの一連の動作、更衣や整容といった動作が挙げられます。また、OTは身体機能を助ける「自助具」と呼ばれるものを作成し、自立度を高めます。, 看護師は患者や利用者の日常動作を常に観察することで、PTやOTで行われているADL訓練が実際に行われているかどうかを評価します。もし、訓練での動作（できるADL）と実際場面の動作（しているADL）に違いがあれば、患者やリハビリ担当者と話し合い、調整する役割があります。, ADLに対する考え方が進んでいくにつれて、さまざまなADL評価法が開発・考案されました。ここでは日本でよく知られている6種類のADL評価手法を紹介します。, 1965年にアメリカで考案されたADL評価手法です。100点満点で表示され、自立度も4段階に分けて評価されます。比較的簡便な評価基準と100点満点表記で分かりやすいというメリットがあり、日本では広く普及しているADL評価手法です。評価項目は以下の10種類です。, 食事、椅子とベッドの移乗、整容、トイレ動作、入浴、移動、階段昇降、更衣、排便自制、排尿自制, 1959年アメリカで8年間かけて開発されたADL評価手法です。6つの動作項目をそれぞれ「自立」か「介助」に分けて、自立の数や項目でAからGと「その他」の8段階に評価します。動作をする身体能力があっても遂行を拒否した場合、自立とは認めない点が評価での特徴です。6つの動作項目は以下の通りです。, 1978年アメリカで開発されたADL評価手法です。世界で広く使用されており、日本でもリハビリ専門職を中心に広く用いられています。動作は6つの大項目と、さらに細分化した18項目に区分され、それぞれを完全自立から介助度に応じて7段階に分けて評価します。評点は1～7点で、満点は126点、最低点は18点になります。実際の動作項目は以下の通りです。, 地域包括ケアシステムにおける認知症アセスメントシートとして、日本で開発されたADL評価ツールです。地域包括ケアに関わるさまざまな職種が対応でき、かつ短時間で「認知機能」と「生活機能」の自立度を評価できるようになっています。評価項目は21項目で、うち6項目はIADLの領域です。また評価時に口頭でインタビューできなくても、動作を観察することで評価できます。, 評価スケールは「～できますか？」といった質問形式なっています。なお得点は各項目1～4点で区分され、点数が高い方が自立度の低い評価です。合計点が31点以上の場合、認知症の疑いがあると定めています。, 1969年に手段的日常生活動作（IADL）に着目したADL評価法して開発されました。社会的な生活に必要な活動のうち8種類を評価します。また、評価対象は高齢者とし、評価項目で男女（女性は全8項目・男性はうち5項目）に違いのあることが特徴です。Lawtonの尺度における評価対象の８項目は以下の通りです。, 電話使用、買物、乗り物利用、服薬管理、家計管理、食事準備、家屋維持（掃除など）、洗濯, IADLに視点を置いた評価法として1983年に開発されました。自らが積極的に社会参加しているかを評価できるようになっているのが特徴です。評価は面接方式で実施し、3ヶ月もしくは6か月間の行動を振り返って採点します。評価項目数は15個で3点ずつ、合計45点満点です。基本的な動作能力よりも「社会的な生存能力」を評価できる手法として信頼を得ています。FAIの評価項目は以下の通りです。, 食事の用意、食事の後片付け、洗濯、掃除、力仕事、買物、外出、屋外歩行、趣味、交通手段の利用、旅行、庭仕事、家や車の手入れ、読書、勤労, 『快適なヘルスケア環境の創造』をテーマにパラマウントベッドが運営する医療・福祉関係者向けメディアです。クリティカルケア、母子ケア、床ずれケア、見守り・排泄ケア、リハビリテーション、5つのヘルスケアの専門領域に特化した記事を発信していきます。, メールマガジンにご登録いただきますと、クリティカルケア、母子ケア、床ずれケア、見守り・排泄ケア、リハビリテーションに関連する情報をお届けいたします。
広義積分 [例] 定積分Z 1 0 1 √ x dx を考える。 これを次のように計算する のはそのままでは定義に反する： Z 1 0 1 √ x dx = 2 √ x 1 0 = 2 [理由]Z 1 0 1 √ x dx を定義する為のRiemann 和は発散し得る： Xn−1 k=0 1 … ÙpÛ¯ÌÁüðuñ³KÙpJÒÌêv, ¸ÆtÌóðuñ³KÙpJÒÌêv. 逆に「狭義」は使い方が難しい言葉で、上のスカイリムの例は、狭義にはオンラインゲームとは呼べないと使っていますが、逆に広義にはそのように呼べることになるので、「狭義」ではなく「広義」の方を使って表現した方が分かりやすく、無理に「狭義」と使うこともないと言えてしまいます。, 「広義」を使った例文と、その意味の解釈です。
「広義に捉えれば、これも含まれる」のような使い方が多く、その一種、同一のグループだと表現したい時に便利な表現だと言えるでしょう。
5分間の平均出力電力が、出力指令値の①0.8倍、②1.0倍 上限クリップ ・5分間の平均出力電力が出力指令値に対して、交換前のpcs定格出力 の±5%以内 （2） 逆潮流 防止 防止制度 ・受電点電力の逆潮流量（5分平均）がpcsの定格出力の5%または＋150w 5分間の平均出力電力が、出力指令値の①0.8倍、②1.0倍 上限クリップ ・5分間の平均出力電力が出力指令値に対して、交換前のpcs定格出力 の±5%以内 （2） 逆潮流 防止 防止制度 ・受電点電力の逆潮流量（5分平均）がpcsの定格出力の5%または＋150w その為、「広義」の反対の意味だと覚えておけば構わない言葉で、オンラインゲームというカテゴリーで例を挙げると、スカイリムというゲームはネットに接続してプレイするタイプですが、完全に1人用のゲームなので、狭義にはオンラインゲームとは呼ばないという具合です。, 「広義」な捉え方は、色々な場面で使われます。
しかし広義積分では、積分範囲が積分をする関数（被積分関数）で定義されていない場合や、無限大方向での積分などが含まれます。, 広義積分\[ \int^{1}_0 \frac{1}{\sqrt{x}} \ \ dx \]を求めなさい。, まずだめな答案を示します。\[\begin{align*} \int^{1}_0 \frac{1}{\sqrt{x}} \ \ dx & = \left[ 2 \sqrt{x} \right]^{1}_0\\ & = 2 - 2 \sqrt{0} = 2 \end{align*} \]皆さんは思うはずです。, しかしよく見てください。 のとき、被積分関数の値は というおかしな値になりますね。, この場合は、一旦0の部分を （記号はなんでもいい）とし、あとで を0に近づける極限を取ってあげればOKです。, （ちなみに一番使われる記号は微小な値を指し示す です。あまり使いたくないので勝手に を使っています。）, \[\begin{align*} \int^{1}_t \frac{1}{\sqrt{x}} \ \ dx & = \left[ 2 \sqrt{x} \right]^{1}_t\\ & = 2 - 2 \sqrt{t} \end{align*} \]となる。, あとは、 が含まれている数式部分の極限を求めます。\[ \lim_{t \to +0} \sqrt{t} = 0 \]となるので、 \[ \int^{1}_0 \frac{1}{\sqrt{x}} \ \ dx = 2 \]と求めることができます。, 積分範囲の端は定義されているが、積分範囲内に定義されていない値が含まれているパターンです。, 広義積分\[ \int^{1}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx \]を求めなさい。, あ、これ簡単じゃーん。\[\begin{align*} \int^{1}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx & = \left[ - \frac{1}{x} \right]^{1}_{-1}\\ & = -1 - 1 = -2\end{align*} \]よく見てみましょう。その関数、 で定義されてませんよ。, この問題の場合は、定義されてない値が積分範囲の間に含まれていますね。そのため、定義されている値を避けて積分をしなければなりません。, 今回の場合、 が定義されていないので、 から、 よりほんの少しだけ小さい値と よりほんの少し大きい値から までの2つにわけて計算します。そのため、\[\begin{align*} \int^{1}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx & =\lim_{t \to +0} \int^{-t}_{-1} \frac{1}{x^2} \ dx + \lim_{t \to +0} \int^{1}_{t} \frac{1}{x^2} \ dx\end{align*} \]の2つに分解されます。, １つ目\[\begin{align*} \int^{-t}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx & = \left[ - \frac{1}{x} \right]^{-t}_{-1}\\ & = -1 + \frac{1}{t}\end{align*} \] \[ \lim_{t \to +0} \frac{1}{t} = \infty \] となり、\[ \int^{-t}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx = \infty \], \[\begin{align*} \int^{1}_{t} \frac{1}{x^2} \ \ dx & = \left[ - \frac{1}{x} \right]^{1}_{t}\\ & = -1 + \frac{1}{t}\end{align*} \] \[ \lim_{t \to +0} \frac{1}{t} = \infty \] となり、\[ \int^{1}_{t} \frac{1}{x^2} \ \ dx = \infty \]となり、2つの広義積分はともに無限大に発散するので、\[ \int^{1}_{-1} \frac{1}{x^2} \ \ dx = \infty \]となり、無限大に発散することがわかる。, （2つに分解した際に、どちらか片方でも広義積分が発散した場合、分解する前の極限も発散するので実はわざわざ2つとも調べる必要はありません。）, このパターンは積分範囲に無限大が入っているので広義積分かどうかが非常に判断しやすいです。, 広義積分\[ \int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^4} \ \ dx \]を求めなさい。, \[\begin{align*} & \int^{R}_{0} \frac{1}{(1+x)^4} \ dx \\ = & \int^{R}_{0} (1+x)^{-4} \ dx\\ = & \left[ - \frac{1}{3} (1+x)^{-3} \right]^{R}_{0}\\ = & - \frac{1}{3} (1+R)^{-3} + \frac{1}{3}\\ = & \frac{1}{3} - \frac{1}{3(1+R)^3}\end{align*} \]となる。, あとは、 を無限大に飛ばせばよい。\[ \lim_{R \to \infty} \frac{1}{3(1+R)^3} = 0 \]より、\[\begin{align*} \int^{\infty}_{0} \frac{1}{(1+x)^4} \ \ dx = \frac{1}{3}\end{align*} \]となる。, 関数 が偶関数のとき、\[ \int^{a}_{-a} f(x) \ dx = 2 \int^{a}_{0} f(x) \ dx \], 関数 が奇関数のとき、\[ \int^{a}_{-a} f(x) \ dx = 0 \], 次の広義積分を求めなさい。\[ \int^{\infty}_{- \infty} x \cos x \ dx \], あ、ラッキー！！ 積分関数は奇関数じゃん！！\[ \int^{\infty}_{- \infty} x \cos x \ dx = 0\]典型的な間違いの例です。, 連鎖公式（ブンブン・瞬間部分積分）が使えます。\[\begin{align*} & \int^{R}_{0} x \cos x \ dx \\ = & \left[ x (\sin x) - 1 (- \cos x) \right]^{R}_{0}\\ = & R \sin R + \cos R - 1\end{align*} \]と計算ができる。ここで極限をとる。\[ \lim_{R \to \infty} R \sin R + \cos R - 1 \]の計算は発散してしまい、計算することができない。, （この時点で問題の広義積分は発散することが確定するので、試験などのときはここで問題の広義積分が発散することを言ってもOK）, 同様に\[\begin{align*} & \int^{0}_{-R} x \cos x \ dx \\ = & \left[ x (\sin x) - 1 (- \cos x) \right]^{0}_{-R}\\ = & - R \sin R - \cos R + 1\end{align*} \]と計算できる。同様に極限を取ると発散をする。, 偶関数の場合は、広義積分が収束する*1場合は、\[ \int^{a}_{-a} f(x) dx = 2 \int^{a}_{-a} f(x) dx \]が成立できるので偶関数の計算には使っても構いません。, 次の広義積分を求めなさい。\[ \int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{1+x^2} \ dx \], \[ \begin{align*}\int^{R}_{-R} \frac{1}{1+x^2} \ dx = & \left[ \tan^{-1} x \right]^{R}_{-R}\\ = & \tan^{-1} R - \tan^{-1} \left( -R \right)\end{align*} \]となる。ここで極限をとる。\[ \lim_{R \to \infty} \tan^{-1} R - \tan^{-1} \left( -R \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \]と計算ができるので、\[ \int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{1+x^2} \ dx = \pi \]となる。, \[ \begin{align*}\int^{R}_{-R} \frac{1}{1+x^2} \ dx 2 \int^{R}_{0} \frac{1}{1+x^2} \ dx = & \left[ \tan^{-1} x \right]^{R}_{0}\\ = & \tan^{-1} R \end{align*} \]となる。ここで極限をとる。\[ \lim_{R \to \infty} \tan^{-1} R = \frac{\pi}{2} \]と計算ができるので、\[ \int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{1+x^2} \ dx = \pi \]となる。, 関数 が偶関数のとき、\[\int^{a}_{-a} f(x) \ dx \]が収束するならば、\[ \int^{a}_{-a} f(x) \ dx = 2 \int^{a}_{0} f(x) \ dx \]が成立。, 関数 が奇関数のとき、\[\int^{a}_{-a} f(x) \ dx \]が収束するならば、\[ \int^{a}_{-a} f(x) \ dx = 0 \]だが、成立しないことも多いので要注意！！, （偶関数はどっちにしろ積分をしないと答えが出せないので間違える人は少ないが、奇関数は積分せずに答えを出せてしまう関係上、収束するか確認せずに0と答えてしまう人が多いので注意！）, 実際に広義積分が収束するのかを計算するのが難しい関数でも、より大きくて計算しやすい関数が同じ積分範囲内で収束することを示せば、計算するのが難しい関数でも収束することを示すことができます。, これを優関数の原理といいます。なお、この原理では、収束することは示せても、どの値に収束するのかはわかりません。, 広義積分 \[\int^b_{a} g(x) \ dx \]が収束し、さらに の積分範囲内で常に\[ \left| \ f(x) \ \right| \leqq g(x)\]となれば、広義積分\[ \int^b_{a} f(x) \ dx \]が収束する。, 広義積分\[ \int^{\infty}_{0} e^{-x} \sin^3 x \ dx \]が収束することを示しなさい。, （計算しなさいではなく、収束することを示しなさいの場合は優関数の原理を使うのが高いと思ってください。）, なので、積分範囲内では常に \[ \left| e^{-x} \sin^3 x \right| \leqq e^{-x} \]となる。, なので、\[ \int^{\infty}_{0} e^{-x} \ dx \]が収束することを示せばよい。, ここで、\[\begin{align*} \int^{R}_{0} e^{-x} \ dx = & \left[ - e^{-x} \right]^R_{0}\\ = & -e^{-R} + 1\\ = & 1 - \frac{1}{e^R}\end{align*} \]となる。ここで、\[ \lim_{R \to \infty} \frac{1}{e^R} = 0 \]より、\[ \begin{align*} \int^{\infty}_{0} e^{-x} \ dx = 1\end{align*} \]となり、収束する。, よって、\[ \int^{\infty}_{0} e^{-x} \sin^3 x \ dx \]も収束することが示された。, (1) \[ \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \], (2) \[ \int^{1}_{ -\frac{1}{2} } \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \ dx \], (3) \[ \int^{\infty}_{1} x e^{-x} \ dx \], \[ \int^{\infty}_{0} x e^{-x^2} \ dx \]の値を求めなさい。, \[ \int^{\infty}_{0} e^{-x^2} \ dx \]が収束することを示しなさい。（この数式はガウス積分と呼ばれます。）, (1) \[ \int^{\infty}_{0} \frac{ \cos x}{1+x^2} \ dx \], (2) \[ \int^{1}_{-1} \frac{x}{x^2-1} \ dx \], (3) \[ \int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx \], まずは積分計算。1だけ少し小さい値は とすればOK。\[\begin{align*} \int^{1-t}_{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = & \left[ \sin^{-1} x \right]^{1-t}_0\\ = & \sin^{-1} \left(1-t \right) - \sin^{-1} 0 \\ = & \sin^{-1} \left(1-t \right)\end{align*} \]となる。ここで、\[ \lim_{t \to +0} \sin^{-1} \left(1-t \right) = \frac{\pi}{2} \]より、\[ \begin{align*} \int^{1}_0 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \frac{\pi}{2}\end{align*} \]と計算できる。, \[\begin{align*} \int^{1}_{-\frac{1}{2} + t} \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \ dx = & \frac{1}{2} \int^{1}_{-\frac{1}{2} + t} \frac{2}{\sqrt{2x + 1}} \ dx \\ = & \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{2x+1} \right]^{1}_{-\frac{1}{2} + t}\\ = & \sqrt{3} - \sqrt{2t}\end{align*} \]となる。ここで、\[ \lim_{t \to +0} \sqrt{2t} = 0 \]より、\[ \begin{align*} \int^{1}_{-\frac{1}{2} + t} \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \ dx = \sqrt{3}\end{align*} \]と計算できる。, \[\begin{align*} & \int^{R}_{1} x e^{-x} \ dx \\ = & \left[ x \left( -e^{-x} \right) - e^{-x} \right]^{R}_{1}\\ = & \left[ -(x+1) e^{-x} \right]^{R}_{1}\\ = & -e^{-R} (R+1) + 2 e^{-1}\\ = & \frac{2}{e} - \frac{R+1}{e^R}\end{align*} \]となる。ここで、\[ \lim_{R \to \infty} \frac{R+1}{e^R} = 0 \]より、\[ \begin{align*} \int^{R}_{1} x e^{-x} \ dx = \frac{2}{e}\end{align*} \]と計算できる。, なので、0に少しだけ大きい値まで積分して最後に極限をとればよい。\[\begin{align*} \int^{3}_{t} \log x \ dx = & \left[ x \log x - x \right]^{3}_{t}\\ = & 3 \log 3 - 3 - \left( t \log t - t \right)\end{align*} \]となる。ここで、\[\begin{align*} \lim_{t \to +0} t \log t - t & = \lim_{t \to +0} t ( \log t - 1 ) \\ & = \lim_{t \to +0} \frac{\log t - 1}{\frac{1}{t}} \\ & =\lim_{t \to +0} \frac{ \frac{1}{t} }{- \frac{1}{t^2}}\\ & = \lim_{t \to +0} -t = 0\end{align*} \]より、\[ \begin{align*} \int^{3}_{t} \log x \ dx = 3 \log 3 - 3\end{align*} \]となる。, 無限大が含まれる積分なので、一旦 とおいてあとで無限大に極限を飛ばす。\[\begin{align*} & \int^{R}_{0} x e^{-x^2} \ dx \\ = & \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} \right]^{R}_{0}\\ = & - \frac{1}{2} e^{-R^2} + \frac{1}{2}\\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^{R^2}}\end{align*} \]となる。ここで、\[ \lim_{R \to \infty} \frac{1}{2e^{R^2}} = 0 \]より、\[ \begin{align*} \int^{\infty}_{0} x e^{-x^2} \ dx = \frac{1}{2}\end{align*} \]となる。, (2) \[ \int^{\infty}_{0} e^{-x^2} \ dx \]の広義積分を直接計算して収束することは難しいので、優関数の原理を用いる。, さらに、\[ \begin{align*} & \int^{\infty}_{0} e^{-x^2} \ dx \\ = & \int^{\infty}_{1} e^{-x^2} \ dx + \int^{1}_{0} e^{-x^2} \ dx\end{align*} \]と分解する。\[\int^{1}_{0} e^{-x^2} \ dx\]は広義積分ではないので当然収束する。なので、\[\int^{\infty}_{1} e^{-x^2} \ dx \]が収束することを示せばよい。, また、(1)より、\[ \begin{align*} \int^{\infty}_{0} x e^{-x^2} \ dx\end{align*} \]は収束する（当然 1〜正の無限の範囲でも収束する）。…(ii), \[ \left| \frac{ \cos x}{1+x^2} \right| \leqq \frac{1}{1+x^2} \ dx \]を常に満たす。, つぎに、\[ \int^{\infty}_{0} \frac{1}{1+x^2} \ dx \]が収束することを確かめる。（優関数の原理）。, ここで、\[ \begin{align*}\int^{R}_{0} \frac{1}{1+x^2} \ dx \int^{R}_{0} \frac{1}{1+x^2} \ dx = & \left[ \tan^{-1} x \right]^{R}_{0}\\ = & \tan^{-1} R \end{align*} \]となる。ここで極限をとる。\[ \lim_{R \to \infty} \tan^{-1} R = \frac{\pi}{2} \]と計算ができるので、\[ \int^{\infty}_{0} \frac{1}{1+x^2} \ dx = \frac{\pi}{2} \]となり、収束する。, よって、\[ \int^{\infty}_{0} \frac{ \cos x}{1+x^2} \ dx \]も収束することがわかる。, \[ \int^{1}_{-1} \frac{x}{x^2-1} \ dx = \int^{1}_{0} \frac{x}{x^2-1} \ dx + \int^{0}_{-1} \frac{x}{x^2-1} \ dx \], 前半の積分は で定義されないので、1よりもわずかに少ない値で積分。\[ \begin{align*}\int^{1-t}_{0} \frac{x}{x^2-1} \ dx & = \left[ \frac{1}{2} \log \left| x^2 - 1 \right| \right] \\ & = \frac{1}{2} \log \left| (1-t)^2 - 1 \right| \\ & = \frac{1}{2} \log \left| t^2 -2t \right|\end{align*} \]となる。, 仮定より、\[\int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx = 2 \int^{\infty}_{0} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx \]も収束する。, さらに、\[\begin{align*} \int^{\infty}_{0} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx = \int^{\infty}_{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx + \int^{1}_{0} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx\end{align*} \]と分解できるので、\[ \int^{\infty}_{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \ dx \]の収束を示せばよい。, さらに、1以上の に対し、\[ \left| \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \right| \leqq \frac{1}{\sqrt{x^4}} = \frac{1}{x^2}\]が成立する。, なので、\[ \int^{\infty}_{1} \frac{1}{x^2} \ dx \]の収束を調べればよい。[\begin{align*} & \int^{R}_{1} \frac{1}{x^2} \ dx \\ = & \left[ - \frac{1}{x} \right]^{R}_{1}\\ = & 1 - \frac{1}{R}\end{align*} \]となる。\[ \lim_{R \to \infty} \frac{1}{R} = 0 \]なので、\[ \int^{\infty}_{1} \frac{1}{x^2} \ dx = 1 \]に収束する。, 広義積分は、今後習う二重積分などで突然不意打ちをしてくるので、これ広義積分だなっていうのを見分けられるようにして、不意打ちを回避できるようにしましょう。, *1:収束する場合と書いてあるが、どうせ積分の計算をするのであまり気にする必要はない（計算したら広義積分が収束するかしないかは当然わかるので）。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています！, うさぎでもわかる解析 Part11 広義積分（広義積分の基本と注意点）・優関数の原理, 収束する場合と書いてあるが、どうせ積分の計算をするのであまり気にする必要はない（計算したら広義積分が収束するかしないかは当然わかるので）。.