&\geqq 0 \tag{3} この問題、実戦には珍しく本番で出そうな良問だと思うので、東大文系受験生は是非一度トライしてみては！（笑い）, 東大頻出の一つ 整数と云う事で僕は手をつけたんだけど、平均点は1.7点と、全4問中最低だね～。（笑い）, 一番最後に駿台の模範解答をアップするけど、このやり方よりも個人的には僕のやり方の方が分かりやすいと思うんだけど。（笑い）, ２．M＝1000a+100b＋10c+d、一方N＝1000d+100c+10b+aでkM=N。, M=1000a+d+10B並びにN=1000d+a+10Cと書き直せるので、題意よりkM=Nなので、1000ak+dk+10Bk=1000d+a+10C, １）a=1の時、dkの一の位が1となる必要があり、これを満たす（d、k)＝(3、7）、（7、3）、（9、9）の3通りのみ。, 各々、検証すると、題意を満たすのは（9、9）の場合のみで（＊）、この場合、M=1089、N=9801となり、9M＝Nが成立する。→①, （＊）：（9、9）以外が成立しない事の検証は、時間が有れば詳しく書くべきだが、簡易代入法で矛盾が生じる事を示すだけでもOK。, ２）a=2の時、dkの一の位が2となる必要があり、これを満足する（d、k）＝（2、6）、（6、2）、（3、4）、（4、3）、（4、8）、（8、4）、（6、7）、（7、6）、（8、9）、（9、8）, 但し、a=2の場合、akが9以下でなければならないので、kは4以下でなければならない。, この条件を満たすのは、（d、k）＝（6、2）、（3、4）、（4、3）、（8、4）の4通りのみ。, 各々、検証すると、題意を満たすのは（8、4）の場合のみで（＊）、この場合、M=2008＋10B、N=8002＋10Cとなり、4M＝Nが成立するので、8032＋40B＝8002＋10C、即ち30+40B=10Cより3+4B=C→3＋4（10b＋c）＝10c＋b, これを満たすのはb=1、c=7のみでありM=2178、N=8712となり、4M＝Nが成立する。→②, （＊）：（8、4）以外が成立しない事の検証は、時間が有れば詳しく書くべきだが、簡易代入法で矛盾が生じる事を示すだけでもOK。, ３）a=3の場合、dkの一の位が3となる必要があり、これを満たす（d、k）＝（1、3）のみだが、これを満たすM、Nは存在しない。（＊）, （＊）：ここで全て不成立の検証は、時間が有れば詳しく書くべきだが、簡易代入法で矛盾が生じる事を示すだけでもOK。, ４）a=4の場合、kは2しか有り得ず、又、dkの一の位が4となる必要があり、これを満たす（d、k）＝（2、2）のみだが、これを満たすM、Nは存在しない。（＊）, １．以下の駿台の模範解答の最後にある通り、時間さえあれば4000通りのMについて調べればザッツオールですが、それも面倒なので(当たり前：笑い）、5つの整数を如何にして絞り込み場合分けを簡略化するかがポイントでしょうが、余り技に溺れず、実直に仕分けをすれば何とかなると考えます。, ２．僕は確率より整数の方が、東大の場合、難問が少ないと考えるので、整数は果敢にチャレンジしましょう！, 東大実戦数学（2014年秋模試：整数）！ | 東大在学中 司法試験合格者による気ままなブログ！. (ii) 取り出した球が赤球のときは、その球を袋 U へ戻すことなく、袋 U の中身はそのままにする。, はじめに袋 U の中に、白球が $a+2$ 個、赤球が $1$ 個入っているとする。この袋 U に対して操作(*)を繰り返し行う。 入試問題, 問題と解説. &= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4abc+4a^2}}{2}\\ 以上より, \(z=bc-a\) とおけば組 \((b, c, z)\) は条件(A)を満たす. &= bc-a, a \tag{2} &= \frac{b^2+c(c-a)}{a}\\ Copyright © CyberAgent, Inc. All Rights Reserved. ©2016 - 2020 なかけんの数学ノート All rights reserved. (1) 条件(A)を満たす組 \((x, y, z)\) で, \(y\leqq 3\) となるものをすべて求めよ. 数学の過去問の解き方や、数学の考え方を解説していくサイトです。 ご意見などはこちらへ。 広告. \begin{align} &= \frac{bc\pm(bc-2a)}{2}\\ \end{align}. a を自然数（すなわち $1$ 以上の整数）の定数とする。 Project Eulerもやってます. このとき, 組 \((b, c, z)\) が条件(A)を満たすような \(z\) が存在することを示せ. \(a_{n+1}= b_n, b_{n+1}= c_n, c_{n+1}=b_nc_n-a_n\). Z会オリジナル模試(6回分)に加え、平成30年度試行調査を掲載しています。オリジナル模試で実戦力を養成したあとは、試行調査を用いて実力を確認することができます。. 条件(A) : \(x, y, z\) は正の整数で, 東大2014年度理系第4問(証明問題) | 数学のカ 問題 次の条件を満たす組 \((x, y, z)\) を考える. \(\displaystyle z=\frac{bc\pm \sqrt{b^2c^2-4(b^2+c^2)}}{2}\), \begin{align} (3) 以下の漸化式によって \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)を定める. よって, \(z=bc-a\) とおくと, \(b^2+c^2+z^2=bcz\) を満たす. z^2-xyz+(x^2+y^2)=0 \tag{1} 条件(A) : \(x, y, z\) は正の整数で, \(x^2+y^2+z^2=xyz\) および \(x\leqq y\leqq z\) を満たす. \end{align}. &= \frac{abc-a^2-ac}{a}\\ \(b^2+c^2+z^2=bcz\) が成り立つと仮定して \(z\) を求める. \begin{align} このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。. n 回目に取り出した球が赤球である確率を $p_n$ とする。ただし、袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。, (1) $p_1$, $p_2$ を求めよ。 Facebook で共有するにはクリックしてください (新しいウィンドウで開きます). 白球と赤球があわせて $1$ 個以上入っている袋 U に対して、次の操作(*)を考える。, (*) 袋 U から球を $1$ 個取り出し、 a を自然数（すなわち $1$ 以上の整数 ... 東京大学 文系 2014年度 第2問 解説 東京大学 文系 2014年度 第3問 解説 東京大学 文系 2014年度 第4問 解説 このサイトについて. 趣味は数学と読書, プログラミング. z-c&= bc-a-c\\ (i) 取り出した球が白球のときは、袋 U の中身が白球 a 個、赤球 $1$ 個となるようにする。 (2) 組 \((a, b, c)\) が条件(A)を満たすとする. &= \frac{b^2+c^2-ac}{a}\\ 2018/7/22
&= \frac{(a^2+b^2+c^2)-a^2-ac}{a}\\ (3) 条件(A)を満たす組 \((x, y, z)\) は, 無数に存在することを示せ. 名前：黒猫の三角 2016/3/10
組 \((a_n, b_n, c_n)\) は条件(A)を満たし, \(n\)によって異なる組となるので, 条件(A)を満たす組は無数に存在する. (2) $n\geqq 3$ に対して $p_n$ を求めよ。, この問題は、理系第2問(1)(2)と同じ問題なので、解答は理系のページをご覧ください。. 数検1級. z&= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4(-a^2+abc)}}{2}\\ &= \frac{bc\pm\sqrt{(bc-2a)^2}}{2}\\ 東大実戦数学（2014年秋模試：整数）！ （笑い） 東大頻出の一つ 整数と云う事で僕は手をつけたんだけど、平均点は1.7点と、 全4問中最低だね～。 \end{align}, これを \(z\) についての 2 次方程式とみて, 正の整数解をもつ場合を考えると, 判別式 \(D\geqq 0\) より, この不等式と \(0