最大値 最小値 範囲 6

「表内の文字を左上から真ん中に変えたいんだ。」 最大値・最小値に印をつける、条件付き書式 ; MAX関数、MIN関数の使い方の練習ファイルダウンロード. 範囲内の最小値または最大値を計算するには、いくつかの方法があります。 連続する行または列にセルがある場合. 範囲内の最小値・最大値を同時に取得する. （3）最小値は【　】である。 「表内の文字位置は、9つの中から... 「いま履歴書を書いてて、性別を丸で囲みたいんだけど……」 データ分析（高校数学I）の基本となる用語（平均値、中央値、最大値、最小値、範囲、最頻値）の解説です。これらの用語は、名称（漢字）から推測できるので、特に暗記しなくても大丈夫。これらはデータ全体の特徴を表現しているため「代表値」と呼ばれます。, 平成26年度の高卒認定／高認から、数学は学習指導要領に基づいた出題範囲となり、新たに「データの分析」が範囲に加わりました。本試験の出題を見ると、基礎的な内容がほとんどで、他の分野と比べて得点しやすい問題内容となっています。しかも配点は20点もあります。数学が苦手な人はこの分野を徹底的に勉強すれば、合格にグーッと近づくことができる、いわば「お得な分野」です。, データの分析では、いくつかの用語（中央値、最大値、範囲など）が登場します。これらの用語のほとんどは日本語として、そのまま理解すればよく、特に難しいことはありません。, （1）中央値は【　】である。 今回は条件が定められた2変数関数の極値（最大値・最小値）を求めるラグランジュの未定乗数法を行列を用いて効率よく解く方法について例題や練習問題を踏まえながらまとめています。 「合計を出したいけど、範囲が広くて数式で指定するのが面倒だなぁ。」「Excelには2ステップで合計を計 ... https://sakusaku-office.com/excel/post-565/, 「ホームタブ」→編集のところにある「オートSUMの右にある▼（下向き三角」をクリックしてください。オートSUMは「Σ（シグマ）」のマークです。, すると、エクセルが自動で範囲を考えて、関数を書いてくれました！範囲もセルB2:B10で問題なさそうなので、エンターキーで確定してください。, 最小値も同じく、まず最小値を出したいセルB12をクリックして、「ホームタブ」→編集のところにある「オートSUMの右にある▼（下向き三角）」をクリックします。, しかし、範囲がB2からB11までと、テストの点数ではなく、先ほど出した最高点数が入っちゃってます。, 最大値・最小値を抽出してセルに出すのではなく、直接該当のセルに印をつけることもできます。実際にやってみた方が分かると思うので、さっそくやってみましょう！, 次の画像の点数のセル（B2～B10）を、最大値なら青く、最小値なら赤く塗りつぶしたいと思います。, まず、最大値を探したい範囲（どの中の最大値を求めたいのか）をドラッグして選択します。ちょうど例題のような状態ですね。, 条件付き書式のメニューが出てくるので、「上位/下位ルール」→「その他のルール」と進みます。, 「上位」の右側（10と書いてあるところ）を「1」にします。これで上位1位だけ、書式を変えられるようになります。, セルの書式設定ダイアログボックスが表示されますので、1位のセルの書式を自由に決めてください。, 今回は、青く塗りつぶしたいと思います。背景色から青を選んで、OKをクリックしてください。, まず、最小値を探したい範囲（どの中の最大値を求めたいのか）をドラッグして選択します。, 今回は最小値、つまり最下位の数値に色を付けたいので、上位の右側にある下向き矢印から「下位」を選びます。, 下位の右側（10と書いてあるところ）を「1」にします。これで下位1つだけ、書式を変えられるようになります。, セルの書式設定ダイアログボックスが表示されますので、最小値のセルの書式を自由に決めてください。, 今回は、赤く塗りつぶしたいと思います。背景色から青を選んで、OKをクリックしてください。, これでどんなに範囲が広くても、一発で最大値や最小値が抽出できますね！それでは、お疲れさまでした！. （4）範囲は【　】である。 j, ”Žš‚ª•Ï‚í‚Á‚Ä‚à‘åä•vIMAX/MINŠÖ”‚ōőå’l‚âÅ¬’l‚ðŒ©•ª‚¯‚悤I. 三角関数の合成では上のようにsinθ、cosθ同士の和をsinだけにまとめることができます。sinθとcosθの和のままの場合、θの値によって２つの関数が変化しますが、合成することによって１つのsinの値であらわせるため、計算がより簡単になります。, また三角関数の合成には加法定理の知識が必要になります。はじめに加法定理について確認してから、三角関数の合成の証明に移りましょう。, 今回の合成の証明に用いるのはsinの加法定理のみなのでその項目に絞って解説します。, このことで加法定理では既に明らかになっているsin θとcosθの値から、角の和や差で表される角度についてもsin θ値を導きだすことができます。, この６つの式を加法定理と呼びます。合成の変形以外にも様々な面で必要になるのでぜひ覚えておきましょう。, 座標平面状にP(a,b)をとり、原点Oと点Pを結びます。このときのOPがx軸の正の向きとなす角をαとします。, この合成を用いる際の注意点として、それぞれsinθ、cosθの前についている係数は違っても構わないのですが、θにあたる部分は必ず同じでなければ合成を用いることはできません。自分で合成できるところを見つける際にはその点に気をつけて計算しましょう。, 証明ではsinθとcosθの和のみを扱っていましたが、この問題のように差を使った問題も出題されます。その場合は合成する際にも、差の公式を用いなければいけない点に注意しましょう。, 三角関数の合成が問題の中でよく使われるのは、最大値・最小値を求める問題です。ここでは合成を利用した最大・最小の問題をといてみましょう。, ここまで三角関数の合成とその例題について解説しました。三角関数の範囲である加法定理や三角比など様々な知識を必要とする分野です。今までに習ったことをしっかりと確認して、自分の力で計算できるように演習を欠かさずにしていきましょう。, 三角関数の合成は今までに習った知識を統合して、応用的な問題演習につなげていくための大切な公式です。またsinやcosの変形も必要なのでしっかりと方法を理解している必要があります。今回はそんな三角関数の豪勢について解説します。, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}ただし、\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)\end{align}$$, $$\begin{align}ただし、\sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(α-β)=\sin α\cos β-\cos α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\cos(α+β)=\cos α\cos β-\sin α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\cos(α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β\end{align}$$, $$\begin{align}\tan(α+β)=\frac{\tan α-\tan β}{1+\tan α\tan β}\end{align}$$, $$\begin{align}\tan(α-β)=\frac{\tan α+\tan β}{1-\tan α\tan β}\end{align}$$, $$\begin{align}OP=\sqrt{a^2+b^2}\end{align}$$, $$\begin{align}またOP=\sqrt{a^2+b^2}を用いて、三角関数の定義より\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},　\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}a=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha, b=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha\end{align}$$, $$\begin{align}これらをa\sin\theta+b\cos\thetaに代入します。\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha*\sin\theta+\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha*\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{a^2+b^2}についてまとめて、\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}(1)\sin\theta+\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}(2)\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}a\sin\theta+b\cos\theta→\sqrt{a^2+b^2}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\theta+\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\sin\theta*\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos\theta*\frac{1}{\sqrt{2}})\end{align}$$, $$\begin{align}この問題ではsinα=\frac{1}{\sqrt{2}},cosα=\frac{1}{\sqrt{2}}であるため、\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{4}です(0≦α≦2π)。\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}(\sin\theta\cos\frac{π}{4}+\cos\theta\sin\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}まずは(1)と同じく\sqrt{a^2+b^2}を導きます。\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3}\sin\theta-\cos\thetaより\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3+(-1)^2}=\sqrt{4}=2\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta)\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\sin\theta*\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\theta*\frac{1}{2})\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos\alpha=\frac{1}{2}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}加法定理\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betaより\end{align}$$, $$\begin{align}2(\sin\theta*\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\theta*\frac{1}{2})\end{align}$$, $$\begin{align}=2(\sin\theta\cos\frac{π}{6}-\cos\theta\sin\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}=2sin(\theta-\frac{π}{6}\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta＝0を解け。ただし0≦θ≦2πとする。\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta＝０\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta\end{align}$$, $$\begin{align}=\sqrt{1+3}\sin(\theta-\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}=2\sin(\theta-\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\sin\alpha=-frac{sqrt{3}}{2}, \cos\alpha={1}{2}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}0+\sqrt{5}{6}π≦θ+\sqrt{5}{6}π≦2π+\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}\sqrt{5}{6}π≦θ+\sqrt{5}{6}π≦\sqrt{17}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}2\sin(\theta-\sqrt{5}{6}π)=0\end{align}$$, $$\begin{align}\theta-\sqrt{5}{6}π=π,2π\end{align}$$, $$\begin{align}\theta=π+\sqrt{5}{6}π, 2π+\sqrt{5}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}\theta=\sqrt{11}{6}π, \sqrt{17}{6}π\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sin x+\cos xの最大値・最小値を求めよ。ただし0≦x≦πとする。\end{align}$$, $$\begin{align}はじめにy=\sin x+\cos xを合成して\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sin x+\cos x\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\alpha)\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},　\sin\alpha=\sqrt{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\alpha=\sqrt{1}{\sqrt{2}}\end{align}$$, $$\begin{align}\alpha=\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})\end{align}$$, $$\begin{align}xに角度x+\frac{π}{4}を代入して\end{align}$$, $$\begin{align}0+\frac{π}{4}≦x+\frac{π}{4}≦π+\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}\frac{π}{4}≦x+\frac{π}{4}≦\frac{5}{4}π\end{align}$$, $$\begin{align}y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})のとる最大値の範囲を求めると\end{align}$$, $$\begin{align}-\frac{\sqrt{2}}{2}≦\sin(x+\frac{π}{4})≦1\end{align}$$, $$\begin{align}よってy=\sqrt{2}\sin(x+\frac{π}{4})の最大値・最小値はそれぞれ\end{align}$$, $$\begin{align}最大値\sqrt{2}のとき\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(x+\frac{π}{4})=1より\end{align}$$, $$\begin{align}x=\frac{π}{4}\end{align}$$, $$\begin{align}\sin(x+\frac{π}{4})=-\frac{\sqrt2}{\sqrt2}より\end{align}$$, 最高の学習をもっと身近に、どこでも。スタモ編集部は、大学受験や日々の勉強に役立つ記事を発信しています。予備校講師や塾講師の経験のある東大、京大、早慶の卒業者メンバーが中心に、どこよりも詳しく、どこよりも丁寧な内容をお届けいたします。, 証明が苦手な方なら数学的帰納法はすごい難しいことをしているように見えるのではないでしょうか？しかし、その仕組みを理解すれば意外と簡単なんですよ。本記事では、数学的帰納法の基本や仕組み、問題の解き方について分かりやすく解説していきます。, 「反比例って苦手だったな…」「反比例のグラフの描き方忘れちゃった！」「日常生活で反比例の関係にあるものって？」本記事では反比例が苦手な方に向けて、今さら聞けない基本から徹底的に解説していきます。, 本記事では特性方程式の内容と証明、その使い方を詳しく解説していきます。特性方程式と、その元となる数列の漸化式(ぜんかしき)とは何かを理解し、さまざまな漸化式の問題をとおして特性方程式の使い方を身につけていきましょう。, この記事では、加法定理から2倍角の公式を導出します。また公式を用いた計算まで例題を解いて確認しましょう！, 等差数列は数列の基礎、土台です。数列は大学入試において頻出テーマなので、等差数列が苦手であっては大学合格は厳しいと言っても過言ではないでしょう。本記事では等差数列の3つの公式について分かりやすく解説していきます。, 切片とはなんでしょうか。切片とは直線に置いてｙ軸と交わっている点のことを指し、直線の式を求める際に傾きとともに最も大切な要素の一つです。本記事では切片とその求め方について解説します。, 反比例について徹底解説！基礎からからグラフの描き方まで初学者にもわかりやすく解説します, not only ～ but also … の意味は？相関接続詞についても分かりやすく解説します. しかし、実際に2変数関数の最大値・最小値を調べるときには何かしらの制約（例えば を満たすように）がかかった上で最大値・最小値を求めるような問題を解く必要がある場面も増えてきます。, このように、何かしらの条件の上での極値を調べ、最大値・最小値を求めていく方法について今回はまとめていこうと思います。, まずは、前回と同様に極値となりうる点を調べていきます。条件付きの2変数関数の極値となりうる点（候補点）を調べるのに便利なのが下に示すラグランジュの未定乗数法です。, 条件 の元で関数 がある実数 を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} g(x,y) = 0 \\ f_x = \lambda g_x \\ f_y = \lambda g_y \end{array}\right. セルa1に規定値、a2に最小値、a3に最大値がすでに入力されています。a5、b5に異なる入力値を入れた時、規定値と比べ最小値・最大値の間で一番遠い値のセルをa10に返したいです。規定値a1→10.00最大値a2→10.10最小値a3→9.80入力値a5→9.81 「文字を丸で囲む方法で... 「下のセルに移動しようとして下矢印キーを押したら、画面が下に行くんだ。」 WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free". \]と変形した上でさらに行列を用いて表してみましょう。すると、\[\left( \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ - \lambda  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0  \end{array} \right)\]と変形できますね。, すると、連立方程式\[A \vec{x} = \vec{0}\]の形に変形ができますね。今回 の部分は\[\vec{x} =  \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ - \lambda  \end{array} \right)\]と自明ではない解を持っています*1。, なので、行列 は正則ではありません*2。なので、行列 の行列式は必ず0になる必要があります。なので、\[\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0\]を解くことで極値の候補点を効率的に調べることができる。, 条件 の元において関数 の極値の候補点は\[g(x,y) = 0 \\ \left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0\]の2式をともに満たす となる。, では、1題例題を解きながらラグランジュの未定乗数法を用いて極値を求めていきましょう。, 条件 のもとで関数\[f(x,y) = x^2 + xy + y^2\]の極値となりうる点を調べ、極値を求めなさい。, まずは条件式を の形にし、 とする。すると となる。すると、\[f_x = 2x + y, \ \ \ g_x = 2x \\f_y = x + 2y, \ \ \ g_y = 2y\]となる。, ラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & = \left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & = \left| \begin{array}{ccc} 2x+y & 2x \\ x+2y & 2y  \end{array} \right| \\ & = (2x+y)2y - 2x(x+2y) \\ & = 4xy + 2y^2 - 2x^2 - 4xy \\ & = 2(y^2 - x^2) \\ & = 2(y+x)(y-x) = 0\end{align*}\]が成り立つ。, (i) のとき\[x^2 + x^2 = 2x^2 =  1\]より、\[\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*3。, (ii) のとき\[x^2 + (-x)^2 = 2x^2 =  1\]より、\[\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\mp \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*4。, \[\begin{align*}f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2}, \pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{3}{2}\end{align*} \], \[\begin{align*}f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{2} ,\mp \frac{  \sqrt{2} }{2} \right) & = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{2}\end{align*} \]となる。, (i), (ii) より\[(x,y) = \left(\pm \frac{  \sqrt{2} }{2},\pm \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)\]のとき、極値は 3/2 となり（最大値）、\[(x,y) = \left( \pm \frac{   \sqrt{2} }{2},\mp \frac{   \sqrt{2} }{2} \right)\]のとき、極値は 1/2 となる（最小値）。, 先ほど例題を解く際に、極値が本当に最大値（or最小値）であるかの判定はしていませんね。, 極値が本当に最大値 or 最小値であるかを判定するために使うのが下のワイヤシュトラスの定理です。, 条件 が有界閉集合かつ が連続であるならば、 は必ず最大値および最小値を持つ。, 少々難しいかもしれませんが、簡単にいうと、条件が有限の範囲であれば必ず一番大きいものと一番小さいものが存在するということです*5。, この曲線は有限の範囲に収まっていますね。なので明らかに有界閉集合です。なので必ず最大値と最小値が存在します。, よって、極値 3/2 は最大値となり、極値 1/2 は最小値になることがわかります。, 有界閉集合なものの例でよく出てくるものとして円や楕円など（もちろん有限の範囲内）があります。もし条件が円が楕円で表されていれば、「あ、有界閉集合だから最大値と最小値がありそうだな」とでも思ってください。, Step1：極値となりうる点（候補点）を\[g(x,y) = 0 \\ \left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0\]を解くことにより求める。, Step3：極値が最大値・最小値になるかを確認する。（有界閉集合であれば一番大きい極値が最大値、一番小さい極値が最小値という確認でOK　有界閉集合でなければ個別に判定）, 条件 のもとで関数\[f(x,y) = 3xy\]の極値となりうる点を求め、最大値、最小値を求めなさい。, 点 が条件 を満たしながら を原点とする平面上を動く時、OPの最大値と最小値を求めなさい。, すると、\[f_x = 3y \ \ \ g_x = 8x \\f_y = 3x \ \ \ g_y = 18y\]となる。, ラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & = \left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & = \left| \begin{array}{ccc} 3y & 8x \\ 3x & 18y  \end{array} \right| \\ & = 54y^2 - 24x^2 \\ & = 6(9y^2 - 4 x^2) = 0\end{align*}\]が成り立つ。, つまり、 が成立するので、 として に代入する。すると、\[9y^2 + 9y^2 = 18y^2 = 36 \\ y^2 = 2\]となるので が成立する。, また、 のとき、\[4x^2 = 18 \\x^2 = \frac{18}{4} \\ x = \pm \frac{\sqrt{18}}{2} = \pm \frac{ 3 \sqrt{2}}{2}\]が成立する。よって極値の候補点は\[\left( x,y \right) = \left(\pm \sqrt{2} , \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\]の4点となる。（符号は複号任意）, 4点バラバラに調べていってもいいが、複合同順を使うことで2つまとめて一気に判定できるので使っていきます。, (1) \[\left( x,y \right) = \left(\pm \sqrt{2} , \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\]のとき（符号は複号同順）\[\begin{align*}f(x,y) & = \pm \sqrt{2} \cdot \left( \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) \\ & = \frac{3 \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{6}{2} = 3\end{align*}\]となる*6。, (2) \[\left( x,y \right) = \left(\pm \sqrt{2} , \mp \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\]のとき（符号は複号同順）\[\begin{align*}f(x,y) & = \pm \sqrt{2} \cdot \left( \mp \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) \\ & = - \frac{\sqrt{36}}{2} \\ & = - \frac{6}{2} = -3\end{align*}\]となる*7。, 今回の条件は と楕円ですね。楕円なので条件式は有界閉集合となります。また、 が連続なのは明らかなので必ず最大値、最小値を持つことがわかります。, よってStep2で求めた極値はそれぞれ最大値、最小値となり、\[\left( x,y \right) = \left(\pm \sqrt{2} , \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\]のとき、最大値3を取り、\[\left( x,y \right) = \left(\pm \sqrt{2} , \mp \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\]のとき、最小値3を取る。, また、 が最大、最小となるときは も同様に最大、最小となる。なので条件 \[ g(x,y) = 3x^2 - 2xy + 3y^2 - 1 = 0 \] のもとで関数\[f(x,y) = x^2+y^2\]の最大・最小を求めればよい。, すると、\[f_x = 2x \ \ \ g_x = 6x - 2y \\f_y = 2y \ \ \ g_y = -2x+6y\]となる。, さらにラグランジュの未定乗数法により、\[\begin{align*}\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| & = \left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| \\ & = \left| \begin{array}{ccc} 2x & 6x-2y \\ 2y & -2x+6y  \end{array} \right| \\ & = 2x(-2x+6y) - 2y(6x-2y) \\ & = -4x^2 + 12xy - 12xy + 4y^2 \\ & = 4(y^2 - x^2) \\ & = 4(y+x)(y-x) = 0\end{align*}\]が成り立つ。, (i) のとき\[3x^2 - 2x^2 + 3x^2 = 1 \\ 4x^2 = 1 \\]より、\[\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right)\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*8。, (ii) のとき\[3x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 1 \\ 8x^2 = 1 \\ x^2 = \frac{2}{16}\]より、\[\left( x,y \right) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4},\mp \frac{  \sqrt{2} }{4} \right)\]が極値の候補点となる。ただし、符号は複号同順*9。, \[\begin{align*}f \left( \pm \frac{  1}{2}, \pm \frac{  1 }{2} \right) & = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{2}\end{align*} \], \[\begin{align*}f \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4} ,\mp \frac{  \sqrt{2} }{4} \right) & = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{4}\end{align*} \]となる。, なので (i), (ii) より\[(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right)\]のとき、最大値 となり、\[(x,y) = \left( \pm \frac{   \sqrt{2} }{4},\mp \frac{   \sqrt{2} }{4} \right)\]のとき、最小値 となる。, よって、原点OPとの距離が最大になる点と距離は、\[(x,y) = \left( \pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{2} \right) \ のとき \ \frac{\sqrt{2}}{2} \]となり、最小になる点と距離は、\[(x,y) = \left( \pm \frac{  \sqrt{2} }{4},\pm \frac{  \sqrt{2} }{4} \right) \ のとき \ \frac{1}{2} \]となる。, 多くの人は を用いた数式でラグランジュの未定乗数法を解く人が多いですが、\[\left| \begin{array}{ccc} f_x & g_x \\ f_y & g_y  \end{array} \right| = 0\]を使うと余計な変数 を使わずに解けるのでぜひこちらの方法で解くことをおすすめします！, *1:自明な解とは を表す。 が 以外の解を持つことを自明ではない解をもつという。, *2:正方行列 がフルランク（すべて0の行がない）のとき、行列 は正則となりますね。忘れてしまった人は線形代数のこちらの記事で確認しましょう。, *3:今回の場合は\[\left( x,y \right) = \left(  \frac{  \sqrt{2} }{2},\frac{  \sqrt{2} }{2} \right), \left(  - \frac{  \sqrt{2} }{2},- \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)\]の2つを表している。, *4:今回の場合は\[\left( x,y \right) = \left(  \frac{  \sqrt{2} }{2},- \frac{  \sqrt{2} }{2} \right), \left(  - \frac{  \sqrt{2} }{2}, \frac{  \sqrt{2} }{2} \right)\]の2つを表している。, *5:例えば1〜50の中で一番大きいのは50、一番小さいのは1、のように条件が有限範囲（無限範囲にいっていない）のものには必ず最大値と最小値が存在するのを2変数に拡張しているだけです。, *6:正と正の積および負と負の積はともに正となるので複合同順を使って一度に計算をすることができます。, *7:正と負の積および負と正の積はともに負となるので複合同順を使って一度に計算をすることができます。, *8:今回の場合は\[\left( x,y \right) = \left(  \frac{  1 }{2},\frac{  1 }{2} \right), \left(  - \frac{  1 }{2},- \frac{ 1 }{2} \right)\]の2つを表している。, *9:今回の場合は\[\left( x,y \right) = \left(  \frac{  \sqrt{2} }{4},- \frac{  \sqrt{2} }{4} \right), \left(  - \frac{  \sqrt{2} }{4}, \frac{  \sqrt{2} }{4} \right)\]の2つを表している。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています！, うさぎでもわかる解析　Part21　条件付き2変数関数の極値・行列を用いたラグランジュの未定乗数法, 例えば1〜50の中で一番大きいのは50、一番小さいのは1、のように条件が有限範囲（無限範囲にいっていない）のものには必ず最大値と最小値が存在するのを2変数に拡張しているだけです。, 正と正の積および負と負の積はともに正となるので複合同順を使って一度に計算をすることができます。, 正と負の積および負と正の積はともに負となるので複合同順を使って一度に計算をすることができます。.